Cours et exercices de probabilites et statistiques
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Cours et exercices de probabilités et statistiques
I. Variable centrée réduite
A. Comment centrer et réduire
Une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle et si son écart type vaut 1.
Soit X une variable aléatoire discrète d’espérance E(X) = m, de variance V(X) et d’écart type
(V X ) non nul.
La variable aléatoire mX )( a une espérance nulle
La variable aléatoire
mX Z a une espérance nulle et une variance égale à 1, donc un écart type égal à 1.
Attention
L’écart-type d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale ne fait pas partie des contenus mentionnés dans le programme des classes de première ES et L. Il convient donc, avant d’aborder le chapitre sur la loi normale en terminale, de l’introduire en lien avec l’écart-type d’une série statistique et d’en faire percevoir les effets dans le cadre d’une activité de simulation. m donc-m et n - mX )( les prend entre -Si une variable X prend ses valeurs entre 0 et n, s les prend entre= -mX Z s et-m s mn . Si la variable aléatoire X est représentée par un- mX )( par translation de vecteur-diagramme en bâtons, on obtient la représentation de la variable – m de ce diagramme. Puis on obtient la représentation de la variable aléatoire Z par « réduction » du nouveau diagramme. Les abscisses sur lesquelles sont construits les bâtons sont les valeurs de i r s m et les hauteurs des bâtons sont les mêmes que celles obtenues pour la variable X, cela conduit-X 1 . Sur le graphique ci-dessous, on a à droite le diagramme en bâton d’une> sà une concentration si mX ) et en plus foncé celui de Z.-variable X, à gauche en clair le diagramme de ( X- m) et en plus foncé celui de Z.
B. Pourquoi centrer et réduire ?
Lorsqu’on passe de X à Z, on obtient une variable aléatoire dont les paramètres (espérance et variance) ne dépendent plus de ceux de X. Rappel Une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B (n, p) peut s’interpréter comme un nombre de succès lors de la répétition de n expériences de Bernoulli indépendantes. Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (n, p) ; on a :
pnp )1( .-E(Xn) = np, V(Xn) = np(1 – p), et σ (Xn) = p)1(-La variable aléatoire La variable aléatoire np npX Z n n a pour espérance 0 et pour variance 1, indépendantes de n et de p.= - n X F n correspond à la proportion de succès, son espérance est p et sa variance=n est n pp )1(- . On constate que Fn a une espérance qui ne dépend pas de n et une variance qui diminue quand n augmente c'est-à-dire que les réalisations d entration des valeurs les plus probables e Fn « ont tendance à se resserrer » autour de p lorsque n augmente. C’est cette conc de Fn qui permettra d’améliorer la prise de décision à partir des observations.
Document associé : diagramme en bâtons de Fn.ggb Sur les graphiques ci-dessus, on a représenté le diagramme en bâtons d’une variable n X F n où Xn=n suit la loi binomiale de paramètres 25 et 0,4 puis 60 et 0,4. Les valeurs prises par Fn sont entre 0 et 1 quel que soit n. Le paragraphe suivant v ettre de constater que la variable Z universelle indépendante p. La connaissance de la l a perm n « tend » vers une variable de oi de cette variable universelle permet de préciser la fluctuation de n X n autour de son espérance p.
Table des matières
Introduction ............... 1
I. Variable centrée réduite 4
A. Comment centrer et réduire........... 4
B. Pourquoi centrer et réduire ? ........................... 4
II. La loi normale centrée réduite 5
A. Activité : Introduction au théorème de Moivre-Laplace ..................... 5
B. Théorème de Moivre-Laplace ......................... 7
C. La loi normale centrée réduite......................... 8
1. Premières propriétés............. 8
2. Espérance d’une loi normale centrée réduite (uniquement en terminale S) ................ 10
III. Lois normales 10
A. Généralités................. 10
B. Exemples d’exercices .................. 12
IV. Intervalle de fluctuation 18
A. Cas binomial.............. 18
B. Activité : recherche et utilisation d’un intervalle de fluctuation à l’aide d’un algorithme.... 18
C. Intervalle de fluctuation asymptotique .......... 20
D. Exemples d’utilisation................. 22
1. Prise de décision ................. 22
2. Problème de la surréservation (surbooking)........... 23
3. Echantillon représentatif d’une population pour un sondage..................... 24
E. Intervalle de fluctuation simplifie donné en seconde ...... 25
Exemples d’exercices .................... 28
V. Intervalle de confiance 30
A. Introduction ............... 30
Activité ........................ 31
B. Principe général de l’intervalle de confiance .................. 33
C. Définition .................. 33
D. Intervalle de fluctuation ou intervalle de confiance : lequel utiliser ?................. 34
E. Autre intervalle de confiance......................... 35
F. Étude de la longueur de l’intervalle de fluctuation et conséquence pour l’intervalle de confiance ............................ 35
G. Détermination de la taille minimale de l’échantillon pour avoir une précision donnée........ 36
H. Applications............... 37
1. Exemple de détermination d’un intervalle de confiance ........... 37
2. Simulations.......................... 37
Exemples d’exercices .................... 39
VI. Compléments sur les lois uniforme et exponentielle 42
A. Loi uniforme.............. 42
B. Lois exponentielles...................... 44
Annexe 1 Introduction au théorème de Moivre-Laplace 45
A. La loi des grands nombres de Jacques Bernoulli ............. 45
B. La démarche d’Abraham de Moivre.............. 46
C. Une approche du résultat de Moivre .............. 47
D. Le théorème de Moivre-Laplace ................... 48
E. Convergence en loi ...................... 49
Annexe 2 Compléments sur les lois normales 50
A. Loi normale centrée réduite........................... 50
B. Lois normales ............ 51
Annexe 3 Approche simplifiée de la théorie des sondages 51
A. Qualités d’un échantillon permettant de répondre à une question posée ............... 51
B. Echantillonnage non-probabiliste ou non aléatoire ............ 52
C. Echantillonnage probabiliste .......... 53
Annexe 4 Utilisation des Tice 54
A. Tableau des fichiers du document ressource Probabilités et Statistique du programme de Terminale. .......................... 54
B. Prise en main rapide du logiciel R.................... 57
Annexe 5 Méthode de Monte-Carlo 66
A. Méthode dite du « rejet »............. 66
B. Méthode de l’espérance............... 68
Annexe 6 Comparaison de deux frequences et difference significative 69
A. Une situation tres fréquente en sciences experimentales et en economie ........... 69
B. Comparaison de deux frequences.................. 70
C. Intersection de deux intervalles de confiance.................. 70
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