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Cours de math : les suites numeriques et fonctions

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Cours de math : les suites numériques et fonctions

1 INTRODUCTION

L’analyse mathématique est l’étude approfondie du calcul différentiel et intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y résume d’abord les propriétés des nombres réels sous la forme de quatorze axiomes simples puis on en déduit rigoureusement l’ensemble des résultats du calcul différentiel. Dans l’ordre suivant : la notion de limite d’une suite ou d’une série numérique, la notion de limite d’une « variable continue », la définition et les propriétés d’une fonction continue, la définition et les propriétés d’une fonction dérivable et, comme application, la définition et les propriétés d’une fonction convexe. Une certaine familiarité avec le calcul infinitésimal est présupposée de la part de l’étudiant — bien qu’elle ne soit pas, d’un point de vue strictement logique, requise. La construction du corps des nombres réels à partir des premiers principes de la théorie des ensembles ne fait pas partie du cours. Toutefois, passer en revue les diverses étapes menant aux nombres réels est une bonne introduction à la théorie formelle qui suit. On peut penser que les entiers naturels, que nous dénotons de nos jours par 1, 2, 3, . . . sont apparus à propos de questions de dénombrement, l’opération d’addition m + n de deux tels nombres correspondant à la réunion d’ensembles disjoints et leur multiplication mn étant tout simplement une addition abrégée : mn = n + n + · · · + n | {z } m .

Une relation d’ordre naturelle m < n existe entre ces entiers, correspondant à l’inclusion des ensembles qu’ils dénombrent. Les besoins du commerce amenèrent ensuite l’introduction des nombres entiers négatifs −n puis celle des fractions m/n et enfin celle du nombre 0, la relation d’ordre étant prolongée de fa¸con assez directe à ces nouveaux nombres. A cette étape, ` l’on disposait d’un système numérique fermé sous les quatre opérations de l’arithmétique — addition, soustraction, multiplication et division. Le développement de la géométrie fit apparaˆıtre des nombres irrationnels (certaines longueurs ne pouvaient pas ˆetre mesurées par des nombres pouvant se mettre sous la forme m/n) et les Grecs surent relever le défi posé par ces derniers en construisant rigoureusement un système de nombres les englobant, système que nous appelons aujourd’hui le corps des nombres réels et que nous dénotons par R.

Table des matières

1 INTRODUCTION 3

2 QUATORZE AXIOMES 5

2.1 Les axiomes de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 La relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 L’axiome de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 NOMBRES IRRATIONNELS 18

3.1 Raisonnements par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 SUITES NUMERIQUES ´ 27

4.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 L’infini en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Existence de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 SERIES NUM ´ ERIQUES ´ 44

5.1 Convergence des séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Développements décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 FONCTIONS CONTINUES 57

6.1 La notion de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 PROPRIET´ ES DES FONCTIONS CONTINUES ´ 68

7.1 Propriété des ensembles ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2 Propriété des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3 Propriété des valeurs extrˆemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.4 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8 FONCTIONS DERIVABLES ´ 78

8.1 La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1

8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9 PROPRIET´ ES DES FONCTIONS D ´ ERIVABLES ´ 87

9.1 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2 Extremums relatifs et absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3 La règle de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.4 La méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10 FONCTIONS CONVEXES 101

10.1 La notion de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.2 Fonctions dérivables convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Table des figures

1 La droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Bornes supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 L’intervalle |x − x0| < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Une série à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Une fonction spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 L’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 La propriété des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . 71

8 Une fonction dérivable une seule fois . . . . . . . . . . . . . . 80

9 Polynˆomes cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10 La méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

12 Une fonction dérivable convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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